Françoise Groben wurde am 4. Dezember 1965 in Luxemburg als Tochter von Joseph Groben, einem Gymnasiallehrer und Kulturhistoriker, sowie von Elisabeth Hein geboren. Im Alter von 5 Jahren begann sie im Konservatorium der Stadt Luxemburg bei Francine Weber-Deprelle und Georges Mallach Cello zu studieren. Sie beendete ihr Studium in der Meisterklasse von Boris Pergamenschikow an der Musikhochschule Köln, wo sie ihr Diplom „Konzertreife“ erhielt. Ihre ältere Schwester Anne war ebenfalls als Violinistin und Altistin eine musikalische Virtuosin.
1974 war die junge Cellistin Mitbegründerin des Ensembles „Les jeunes musiciens“. In Alter von 15 Jahren wurde sie, wie ihre Schwester, für das Jugendorchester der Europäischen Gemeinschaft (ECYO) selektioniert, wo sie unter der Leitung von Claudio Abbado, Daniel Barenboim, Herbert von Karajan und Georg Solti spielte.
Im Jahr 1990 errang sie beim Internationalen Tschaikowsky-Wettbewerb in Moskau den 2. Preis sowie Sonderpreise der Moskauer Virtuosen und des Sowjetischen Künstlerverbandes. Anschließend gab sie ihr solistisches Debüt beim Schleswig-Holstein Musik-Festival mit dem Symphonieorchester des Bayerischen Rundfunks unter der Leitung von Dmitri Kitayenko. Ihre musikalische Karriere führte sie in die meisten europäischen Länder, in renommierte Konzertsäle wie den Wiener Musikverein, das Festspielhaus Salzburg, das Palais des Beaux Arts in Brüssel, die Berliner Philharmonie, die Santory-Hall in Tokio, das Theâtre de la ville in Paris, den Tschaikowsky-Saal in Moskau, die Sankt-Petersburger Philharmonie, die Wigmore Hall in London. Mehrere Tourneen führten sie nach Japan, China, in die USA, nach Australien, Kanada, Thailand und Israel.
Sie spielte solistisch mit namhaften Orchestern wie dem Russischen Staatsorchester, dem Moskauer Rundfunk- und Fernsehorchester, dem Philharmonischen Orchester Sankt Petersburg, dem Japan Philharmonic Orchestra, dem Jerusalem Philharmonic Orchestra, dem Georgischen Kammerorchester, dem Zürcher Kammerorchester, dem ECYO Chamber Orchestra, den Berliner Philharmonischen Virtuosen unter der Leitung von u.a. Juri Ahronowitsch, Alexander Dimitriev, Leopold Hager, Daniel Harding, Mstislav Rostropowitsch, Jevgeny Swetlanov…
Als vielgefragte Interpretin von Kammermusik gründete sie 1994 mit dem Violinisten Thomas Zehetmair das renommierte Zehetmair-Streichquartett, mit dem sie zahlreiche Tourneen bis 2003 unternahm. Ihre CD-Aufnahmen wurden von der internationalen Kritik gefeiert und 2003 mit dem „Gramophone Record of the Year Award“ ausgezeichnet. Im Jahr 2002 gründete sie mit dem ukrainischen Violinisten Mourja Graf und dem russischen Pianisten Peter Laul ein Klaviertrio; ihre Brahms-Aufnahmen wurden 2007 mit einem „Diapason d’Or“ ausgezeichnet. Sie war außerdem Mitglied des Meininger-Trios, des Alloys-Ensembles und des Zürcher Streichsextetts.
Der viel zu frühe Tod der Groben-Schwestern - Anne starb im Dezember 1992, Françoise im Mai 2011 - hat die Kulturwelt zutiefst bewegt. Im Gedenken an ihre Gründungsmitglieder hat das Luxemburger Kammerorchester einen Preis gestiftet, um junge Talente der Musikschulen in Luxemburg zu fördern. Der Anne & Françoise Groben-Preis wurde im Juni 2017 zum ersten Mal verliehen.
Im Jahr 2022 veröffentlichte der deutsche Musikproduzent Günter Hänssler eine Box mit sechs CDs "In memoriam Françoise Groben", die von der internationalen Musikkritik hoch gelobt wurde. Der französische Musikwissenschaftler Jean-Charles Hoffelé kommt zu dem Schluss: "Ja, Françoise Groben war eine der wichtigsten Cellistinnen ihrer Zeit".